Centro de Enseñanza de Matemáticas

Ejemplos simples e ilustrativos resueltos usando el método FAS®

Ejemplo 1. Sistema de Ecuaciones

Resolución de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{alignedat}{2} x+&2y = 5 \\ x-&y = -1 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x+&2y = 5 \\ x-&y = -1 \end{alignedat}

I. Abordaje Analítico

Si despejamos y de la primera ecuación y la reemplazamos en la segunda ecuación nos queda:

$\begin{alignedat}{2} y = 1+x \\ x+2y(1+x) = 5 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} y = 1+x \\ x+2y(1+x) = 5 \end{alignedat}

Resolviendo:

$\begin{alignedat}{3} x+2+2x = 5 \\ 3x = 3 \\ x = 1 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{3} x+2+2x = 5 \\ 3x = 3 \\ x = 1 \end{alignedat}

Reemplazando el valor de $\begin{alignedat}{1} x \end{alignedat}$\begin{alignedat}{1} x \end{alignedat} en $\begin{alignedat}{1} y = 1+x\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1} y = 1+x\end{alignedat} obtenemos

$\begin{alignedat}{1} y = 2\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1} y = 2\end{alignedat}

Este método es llamado resolución por sustitución.

También podemos resolverlo analíticamente por otros métodos, como ser reducción o igualación. Sólo lo hemos resuelto por un método para ejemplificar el abordaje analítico.

II. Abordaje Geométrico

Sea el mismo sistema de ecuaciones:

$\begin{alignedat}{2} x+2y = 5 \\ x-y = -1 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x+2y = 5 \\ x-y = -1 \end{alignedat}

Despejamos la variable y de ambas

$\begin{alignedat}{2} y = - \frac{x}{2}+\frac{5}{2}\\ y = x +1 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} y = - \frac{x}{2}+\frac{5}{2}\\ y = x +1 \end{alignedat}

Ahora graficamos las dos funciones:

$\begin{alignedat}{1} y=-\cfrac{x}{2}+\cfrac{5}{2}\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=x+1\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1} y=-\cfrac{x}{2}+\cfrac{5}{2}\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=x+1\\\end{alignedat}

$\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c:c} x & y \\ \hline 0 & \cfrac{5}{2} & \\ 1 & 2 \end{array} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c:c} x & y \\ \hline 0 & 1 & \\ 2 & 3 \end{array}$

Sistema de ecuaciones

El punto P(1,2), abscisa y ordenada, respectivamente, representan la solución al sistema de ecuaciones. 

$\begin{alignedat}{2} x = 1 \\ y = 2 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x = 1 \\ y = 2 \end{alignedat}

III. Abordaje Metodológico

Sea el sistema:

$\begin{alignedat}{2} x+2y = 5 \\ x-y =-1 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x+2y = 5 \\ x-y =-1 \end{alignedat}

Por ejemplo, si lo resolvemos por el método de determinantes o Cramer obtenemos.

$x= \dfrac {\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} } {\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} } = \dfrac {-5+2} {-1-2} = \dfrac {-3} {-3} = 1$x= \dfrac {\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} } {\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} } = \dfrac {-5+2} {-1-2} = \dfrac {-3} {-3} = 1

$y= \dfrac {\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} } {\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} } = \dfrac {-1-5} {-1-2} = \dfrac {-6} {-3} = 2$y= \dfrac {\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} } {\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} } = \dfrac {-1-5} {-1-2} = \dfrac {-6} {-3} = 2

Finalmente,

$\begin{alignedat}{2} x = 1 \\ y =2 \end{alignedat}$

IV. Abordaje por Aplicaciones o Resolución de Problemas

Resolver:

La relación entre dos números es igual a $\cfrac{1}{2}$\cfrac{1}{2}  . Si al número menor se le suma 5 y al número mayor se le resta 4, su relación es  $-\cfrac{5}{2}$ . Hallar los dos números de la relación.

Solución:

Primero buscamos modelizar el enunciado. Observando la primera relación vemos que el número menor aparece en el numerador. Lo llamamos $x$. Podemos expresar la primera relación como:

$\begin{alignedat}{1} \cfrac{x}{y}=\cfrac{1}{2}\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1} \cfrac{x}{y}=\cfrac{1}{2}\\\end{alignedat}

Y la segunda relación de la segunda forma:

$\begin{alignedat}{1} \cfrac{x+5}{y-4}=-\cfrac{5}{2}\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1} \cfrac{x+5}{y-4}=-\cfrac{5}{2}\\\end{alignedat}

Luego obtenemos un sistema de ecuaciones de dos incógnitas:

$\begin{cases} \frac{x}{y}= \frac{1}{2} \\ \frac{x+5}{y-4}= -\frac{5}{2} \end{cases}$\begin{cases} \frac{x}{y}= \frac{1}{2} \\ \frac{x+5}{y-4}= -\frac{5}{2} \end{cases}

Finalmente, mediante algún abordaje adquirido, hallamos la solución al sistema:

$\begin{alignedat}{2} x = 1 \\ y = 2 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x = 1 \\ y = 2 \end{alignedat}

Ejemplo 2. Ecuación de segundo grado

A continuación se muestra como resolver una ecuación de segundo grado.

I. Abordaje Analítico

$\begin{alignedat}{2} ax^{2}+&bx+c = 0\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} ax^{2}+&bx+c = 0\end{alignedat}

Multiplicando cada término por $4a$4a obtenemos:

$\begin{alignedat}{2} 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac = 0\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac = 0\end{alignedat}

Pasando $4ac$ al segundo miembro de la igualdad:

$\begin{alignedat}{2} 4a^{2}x^{2}+4abx =-4ac\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} 4a^{2}x^{2}+4abx =-4ac\end{alignedat}

Sumando $b^{2}$b^{2} a cada miembro: 

$\begin{alignedat}{2} 4a^{2}x^{2}+4ab +b^{2} =b^{2}-4ac\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} 4a^{2}x^{2}+4ab +b^{2} =b^{2}-4ac\end{alignedat}

Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto: 

$\begin{alignedat}{2} (2ax+b)^{2} =b^{2}-4ac\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} (2ax+b)^{2} =b^{2}-4ac\end{alignedat}

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros:

$\begin{alignedat}{2} 2ax+b =\frac{+}{}\end{alignedat}\sqrt{b^2-4ac}$\begin{alignedat}{2} 2ax+b =\frac{+}{}\end{alignedat}\sqrt{b^2-4ac}

Enseguida,

$\begin{alignedat}{2} 2ax=-b \frac{+}{}\end{alignedat}\sqrt{b^2-4ac}$\begin{alignedat}{2} 2ax=-b \frac{+}{}\end{alignedat}\sqrt{b^2-4ac}

Luego,

$\begin{alignedat}{2} x=\frac{-\frac{+}{}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{alignedat}\space\space\space\space(^*)$

Por ejemplo, dada la ecuación $\begin{alignedat}{2} x^{2}-6x+5 =0\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x^{2}-6x+5 =0\end{alignedat} y aplicando $(^{*})$ obtenemos: 

$\begin{alignedat}{2} x_1 = 1\\ x_2 = 5 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x_1 = 1\\ x_2 = 5 \end{alignedat}

Veamos el mismo ejercicio resolviéndolo mediante un

II. Abordaje Gráfico

Resolver:

$\begin{alignedat}{2} x^2 -6x+5= 0 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x^2 -6x+5= 0 \end{alignedat}

Representando gráficamente las variaciones de $\begin{alignedat}{2} y=x^2 -6x+5\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} y=x^2 -6x+5\end{alignedat}, a cada valor de $x$ le corresponde un valor de $y$y.

$\begin{alignedat}{1}x=0\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=5\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1}x=0\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=5\\\end{alignedat}
$\begin{alignedat}{1}x=1\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=0\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1}x=1\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=0\\\end{alignedat}
$\begin{alignedat}{1}x=2\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=-3\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1}x=2\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=-3\\\end{alignedat}
$\begin{alignedat}{1}x=4\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=-3\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1}x=4\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=-3\\\end{alignedat}
$\begin{alignedat}{1}x=5\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=0\\\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1}x=5\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=0\\\end{alignedat}
$\begin{alignedat}{1}x=6\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=5\\\end{alignedat}$

\begin{alignedat}{1}x=6\\\end{alignedat} \space\space\space\space\space\space \begin{alignedat}{1} y=5\\\end{alignedat}

Los puntos donde la curva corta al eje $x$ corresponden a las raíces de la ecuación $x_1=1$x_1=1 y $x_2=5$x_2=5x. Estas son las dos raíces de la ecuación. Por lo tanto, para resolver la ecuación de segundo grado mediante el abordaje geométrico, basta hallar los puntos en los que la curva corta al eje delas abscisas.

Si la curva es tangente al eje $x$x , es decir, la toca en un sólo punto, las dos raíces de la ecuación son iguales a las coordenadas del punto de contacto.

Observación:

Cuando en $\begin{alignedat}{2}\frac{+}{}\end{alignedat}\sqrt{b^2-4ac}$\begin{alignedat}{2}\frac{+}{}\end{alignedat}\sqrt{b^2-4ac} tenemos que $b^2-4ac < 0$b^2-4ac < 0, las raíces serán complejas y la resolución gráfica nos dará una parábola que no corta al eje $x$.

III. Abordaje Metodológico

Sea la ecuación

$\begin{alignedat}{2} ax^2 +bx+c= 0 \end{alignedat}$

Podemos escribir:

$\begin{alignedat}{2} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\end{alignedat}

Ahora podemos representar cada término de la siguiente forma:

$\space\space\space\space\space\space\ x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\ \dfrac{b}{a}$\space\space\space\space\space\space\ x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\ \dfrac{b}{a}

$x \ \boxed{\space\space\space\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \color{white} \frac c d }=- \dfrac{c}{a}$

$\space\space\space\space\space\space\ x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a}$\space\space\space\space\space\space\ x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a}

$x \ \boxed{\space\space\space\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space \color{white} \frac c d} =- \dfrac{c}{a}$x \ \boxed{\space\space\space\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space \color{white} \frac c d} =- \dfrac{c}{a}

$\space\space\space\space\space\space\ x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a} \space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a} \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \dfrac{b}{2a}$

$x\boxed{\frac{c}{d}}+x\boxed{\frac{c}{d}}+x\boxed{\frac{c}{d}}+\boxed{c}\frac{b}{2a}=-\frac{c}{a}+\boxed{c}\frac{b}{2a}$x \ \boxed{\space\space\space\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space \color{white} \frac c d} +\ x \ \boxed{\space \color{white} \frac c d} + \boxed{\space \color{white} c } \dfrac {b} {2a} = - \dfrac {c} {a} + \boxed{\space \color{white} c } \dfrac {b} {2a}

Algebraicamente resulta:

$\begin{alignedat}{2} x^{2}+2x \frac{b}{2a} + \bigg( \frac{b}{2a} \bigg)^{2} = -\frac{c}{a} + \bigg( \frac{b}{2a} \bigg)^{2} \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x^{2}+2x \frac{b}{2a} + \bigg( \frac{b}{2a} \bigg)^{2} = -\frac{c}{a} + \bigg( \frac{b}{2a} \bigg)^{2} \end{alignedat}

Como puede observarse, el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, quedando:

$\begin{alignedat}{2} \bigg( x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2} = - \frac{c}{a}+ \bigg(\frac{b}{2a} \bigg)^{2} \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} \bigg( x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2} = - \frac{c}{a}+ \bigg(\frac{b}{2a} \bigg)^{2} \end{alignedat}

Luego, resolviendo

$\begin{alignedat}{2} \bigg( x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2} = \frac{+}{} \sqrt{\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\frac{c}{a} } \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} \bigg( x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2} = \frac{+}{} \sqrt{\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\frac{c}{a} } \end{alignedat}

$\begin{alignedat}{2} x+\frac{b}{2a}= \frac{+}{} \sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} } \end{alignedat}$

$\begin{alignedat}{2} x+\frac{b}{2a}= \frac{+}{} \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{4a^2} \end{alignedat}$​

$\begin{alignedat}{2} x+\frac{b}{2a}= \frac{+}{} \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x+\frac{b}{2a}= \frac{+}{} \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \end{alignedat}

$\begin{alignedat}{2} x=-\frac{b}{2a}\frac{+}{} \sqrt{b^2- 4ac} \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x=-\frac{b}{2a}\frac{+}{} \sqrt{b^2- 4ac} \end{alignedat}

$\begin{alignedat}{2} x=\frac{-b\frac{+}{}\sqrt{b^2- 4ac} }{2a}\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x=\frac{-b\frac{+}{}\sqrt{b^2- 4ac} }{2a}\end{alignedat}

Importante: Más allá de esta representación esquemática, el problema podría haber sido resuelto utilizando algún método computacional.

III. Abordaje por Aplicaciones o Resolución de Problemas

Resolver el siguiente problema:

La suma de dos números es igual a 3 y su producto, igual a 2. Hallar dichos números. 

Solución: 

Si bien intuitivamente podríamos encontrar los dos números fácilmente, modelizaremos el problema para hallar la solución mediante algún abordaje adquirido. 

Por lo anunciado en el problema, podemos modelizar de esta manera:

$\begin{cases} x+y=3 \\ x*y=2\end{cases}$\begin{cases} x+y=3 \\ x*y=2\end{cases}

Obtenemos así un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

Veamos ahora cómo resolverlo.

Despejando y de la primera ecuación y reemplazándola en la segunda nos queda:

$\begin{cases} x(3-x)=2 \\ 3x-x^2=2\end{cases}$\begin{cases} x(3-x)=2 \\ 3x-x^2=2\end{cases}

Como se observa se trata de una ecuación de segundo grado.

$\begin{alignedat}{2} 3x -x^2= 2 \\ -x^2+3x= 2 \\ x^2-3+2=0\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} 3x -x^2= 2 \\ -x^2+3x= 2 \\ x^2-3+2=0\end{alignedat}

Luego, por algún abordaje ya estudiado, resolvemos y hallamos la solución:

$\begin{alignedat}{2} x= 2 \\ y= 1 \end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} x= 2 \\ y= 1 \end{alignedat}

Como se observa, hemos fragmentado y modelizado el problema para llegar a un algoritmo; en este caso una ecuación de segundo grado que podemos resolver por conocimientos adquiridos.

Ejemplo 3. Hallar  $\begin{alignedat}{2} +\end{alignedat}\sqrt{x}\space x \gt0$\begin{alignedat}{2} +\end{alignedat}\sqrt{x}\space x \gt0  

I. Abordaje Analítico

Calcular $\begin{alignedat}{2} +\end{alignedat}\sqrt{536}$\begin{alignedat}{2} +\end{alignedat}\sqrt{536}

Por regla, y sin explicar el método, tenemos

$+\sqrt{5`36} \space\space\space\space \def\arraystretch{1.5} \begin{array} |$

$+\sqrt{5‘36}\begin{array}{c}23\end{array}$+\sqrt{5`36} \space\space\space\space \def\arraystretch{1.5} \begin{array} | 23 \\ \hline \end{array}

$\space \space \space \space \space \space \space\space \space\space \space\space \space\space \space \space \space\space\space\space 43$\space \space \space \space \space \space \space\space \space\space \space\space \space\space \space \space \space\space\space\space 43

$\begin{array}{c}-4\\ \begin{array}{c}136\\ -\\ 129\end{array}\\ 7\end{array}$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} - \space \space \space \space \space 4 \\ \hline \begin{matrix} \space \space \space \space \space 136 \\ - \space \space \space \space \space \space \space \\ \space \space \space \space \space 129 \end{matrix} \\ \hline \space \space \space \space\space \space \space \space 7\end{array}

El resultado es 23 y el resto 7.

II. Abordaje Geométrico

Hallar $\begin{alignedat}{2} +\end{alignedat}\sqrt{x}\space x \gt0$\begin{alignedat}{2} +\end{alignedat}\sqrt{x}\space x \gt0

a. Sea $\dfrac {} {\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space}$\dfrac {} {\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space}

b. Sumamos al segmento $x$xuna unidad. $\dfrac {} {\space\space1\space\space}\dfrac {} {\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space}$\dfrac {} {\space\space1\space\space}\dfrac {} {\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space x \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space}  

c. Sea $\begin{alignedat}{1} r=\cfrac{1+x}{2}\end{alignedat}$

Sea $\begin{alignedat}{1}z^2=r^2-(r-1)^2=2r-1= \cfrac{2+2x}{2}-1=x\end{alignedat}$\begin{alignedat}{1}z^2=r^2-(r-1)^2=2r-1= \cfrac{2+2x}{2}-1=x\end

Es decir, $\begin{alignedat}{2} z=\end{alignedat}\sqrt{x}$\begin{alignedat}{2} z=\end\sqrt{x} representa el segmento trazado desde el extremo derecho del segmento unidad hasta la circunferencia de $\begin{alignedat}{2} r =\frac{1+x}{2}\end{alignedat}$\begin{alignedat}{2} r =\frac{1+x}{2}\end{alignedat} .

III. Abordaje Metodológico

Hallar $\begin{aligned}z=+\sqrt{x}\end{aligned}$\begin{aligned}z=+\sqrt{x}\end{aligned} para $x>0$x>0.

Podemos utilizar una “calculadora” para hallar el valor, empleando las siguientes identidades:

$\begin{alignedat}{1} + x=e ^{\frac{1}{2}lnx} \end{alignedat} \space\space ó \space\space + \sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}{log10^x}}, \space\space x>0$

IV. Abordaje por Aplicaciones o Resolución de Problemas

La suma de los cuadrados de dos números es 170 y el mayor de ellos es 11. Calcular el menor. 

Solución: Esto nos indica que si a 170 le restamos el cuadrado de 11 obtendremos el cuadrado del menor, es decir

$170 -121=49$170 -121=49

Esto implica que el número menor es la raíz cuadrada de 49, que es 7.

Observación:

En los ejemplos anteriores pudimos resolver los problemas empleando diferentes abordajes, tratándolos con un enfoque independiente entre sí, y comenzando con el abordaje analítico o una parte del mismo.

Para más ejemplos, ver libro »