Centro de Enseñanza de Matemáticas

FAST APPROACH SYSTEM (FAS)
PARA EL APRENDIZAJE DEL CALCULO

Tema: Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1. PRÓLOGO DEL AUTOR

¿Qué es un prólogo? Una respuesta posible sería: un texto que persigue dos objetivos entrelazados y  que parecen ir por sendas opuestas. Por un lado, introducir la palabra, escalón previo, preparación hacia el discurso. Según su etimología, del griego $πρ\acute{o}λoγoς$; prologos, from $πρ\acute{o}$πρ\acute{o} – pro: “antes y hacia”(en favor de), y $λoγoς$λoγoς – logos: “palabra”. Por otro lado, argumentar no sólo como un camino viable lógico para la justificación razonable, sino para persuadir al receptor, lector implícito y modelo. El éxito de aunar estas dos partes es lo que me lleva a aceptar el desafío de emprender este libro. 

Es decir, la propia esencia de la palabra parece marcar el camino. Pro: previous step towards the  logos (argumento). El pro puede ser interpretado como mi experiencia, fruto de mi trayectoria académica, de décadas dedicadas a la enseñanza de la Matemática y de una constante y tenaz investigación para fundamentar esta forma de trabajo. En este sentido puede interpretarse el pro como la razón primera, el motor que pone en marcha el logos, discurso que avala el FAS (Fast Approach System) – mi filosofía de trabajo. 

Si bien la atención de este libro se centra en el aprendizaje de la resolución de Ecuaciones  Diferenciales Ordinarias (EDO), la filosofía que lo sustenta (FAS) es aplicable al aprendizaje de toda la Matemática. 

El aprendizaje de la Matemática ofrece ciertas dificultades para muchos. FAS ayuda a superar  dichas deficiencias o dificultad, ya que fue desarrollado con un sentido eminentemente práctico y vital, con una preocupación permanente por hacer pensar, promoviendo el pensamiento creativo. 

Así, la Matemática despierta pasión por ser inagotable su objeto de estudio y por aportar matices  nuevos a todas las ciencias y a toda la vida del hombre desde que nace.

Retomando el concepto de prólogo, afirmo que el pro (preparación, experiencia) es el resultado de una investigación que he venido perfeccionando desde que era alumno avanzado de la especialidad Electrotecnia, en el Instituto Politécnico Superior en Rosario, Santa Fe, Argentina. En ese período se publicaron mis “Ejercicios sobre Ecuaciones Diferenciales” libro que produjo un efecto trascendente en la enseñanza de la Matemática en el nivel superior. Continué con la enseñanza de ecuaciones diferenciales en las carreras de Ingeniería Civil, Mecánica, Electrónica y Electricista de la Universidad Tecnológica Nacional, y como docente de Análisis Matemático III en la Facultad de Ciencias Exactas e Ingeniería de la Universidad Nacional de Rosario.

Ya como fundador y rector del Instituto Superior Laplace de Ciencias en Sistemas (Rosario, Argentina) y mi trayectoria en universidades en el exterior, fui comprobando que el aprendizaje de esta filosofía de trabajo – FAS– basada en distintos abordajes para el aprendizaje de los conceptos fundamentales, produce avances permanentes en los alumnos en lo que atañe a la Matemática y los hábitos de estudio, logrando un mejor rendimiento académico. Recnozco, entonces, en el FAS una alternativa pedagógica interesante por procesos y resultados, para todo el campo de la Matemática. 

En el año 2007 concurrí a California State University en Sacramento, California, USA, en calidad de visiting scholar, invitado por el Decano Asociado del College of Natural Sciences & Mathematics, Dr. Doraiswamy Ramachandran. Allí intercambié experiencias de aula con un grupo de facultativos del Math & Statistics Department, entre ellos el Dr. David Zeigler y el Dr. Andras Domokos, quienes dictan los cursos de ecuaciones diferenciales con regularidad. El Dr. David Zeigler, en su revisión de esta filosofía sostuvo: “El FAS es una manera novedosa de enseñar ecuaciones diferenciales, que pone énfasis en los conceptos fundamentales y en la interacción entre varios métodos de resolución”

Ya en el año 2012, el FAS fue presentado primeramente en el Mathematics Department de Oregon State University en Corvallis, Oregon, USA. Ese mismo año también fue presentado y auspiciado por el Maseeh Mathematics and Statistics Colloquium Series Fund y el Fariborz Maseeh Department of Mathematics and Statistics de Portland State University en Oregon, USA. Hoy, FAS aparece, además, en el tratamiento de la enseñanza online. 

Si expongo en el concepto del prefijo pro mi trayectoria y experiencia, sumo ahora a la raíz logos, el argumento que sostiene la filosofía FAS. El objetivo en la enseñanza del Cálculo es la comprensión de los conceptos. En este trabajo propongo una filosofía para el aprendizaje de un tema del Cálculo, es decir, una manera de alcanzar los conceptos desde un equilibrio equidistante entre una orientación tradicional y otra reformista. Por su estructura, este sistema puede hacerse tan tradicional e instructivo (del tipo de texto “recetario de cocina”) o tan reformista (recortando o tomando distintos abordajes) como se pretenda, estimulando así el pensamiento lógico y creativo.

La clave filosófica de FAS se basa en el acceso al conocimiento mediante un conjunto de diferentes abordajes, cada uno de los cuales ha sido elaborado de la manera más cuidadosa posible para conseguir la independenia entre cada uno de ellos. Cada uno trata de alcanzar el máximo conocimiento por sí mismo. Gráficamente podemos pensar que cada abordaje descansa uno al lado del otro, paralelamente, como las puntas de un tenedor. La idea es alcanzar la comprensión de los conceptos mediante una estrategia que “surfee” entre los distintos tipos de abordaje, consolidando el proceso de comprensión y generando así una manera de pensar. FAS no busca cambiar la manera de pensar que tenemos incorporada en el inconsciente, sino vincularse a eso, para que juntos ayuden a abrir la mente y aflore lo mejor de cada uno. 

Debido a la independencia de cada abordaje, cada uno de ellos puede ser considerado un libro en sí mismo. La información nueva que cada abordaje suministra se incorpora a la estructura cognitiva, vinculándose a conocimientos preexistentes en ella. Cada abordaje se usa no como un fin, sino como un medio para provocar una disgregación de la estructura cognitiva y su subsiguiente reestructuración automática. 

Si bien el número de abordajes es finito, las combinaciones de los procesamientos de información son infinitas, de igual modo que los colores primarios se mezclan y logran una infinidad de tonos y matices. En síntesis, cuantos más abordajes se tomen, más significativo será el aprendizaje, que variará según la intensidad, el estudio y el orden que se considere.

Volviendo al Dr. David Zeigler, él asegura que “debido a que cada abordaje es independiente, el plan de estudios de ecuaciones diferenciales es flexible. Un instructor puede usar una combinación deliberada de abordajes para desarrolar un plan de estudios que refleje las necesidades de los estudiantes. Por ejemplo, una clase compuesta principalmente por estudiantes especializándose en Ingeniería verán un mayor beneficio en el abordaje metodológico, mientras que una clase con un gran porcentaje de estudiantes especializándose en Matemática ganará mayor entendimiento con el abordaje analítico. Además, la descomposición del material en abordajes nítidos permite una investigación más profunda del material, sin distraerse por el contenido que aparece en los otros abordajes.”

A los abordajes los denominaremos directos e indirectos. A los directos les daremos los nombres de analítico, metodológico y por aplicaciones, siendo éstos los principales generadores del conocimiento. Los indirectos son dos: la Guía de Referencia y la Práctica Guiada, que complementan el sistema. 

Acaba de comenzar para el lector una nueva forma de encarar la ciencia, la vida y el vínculo profundo con la evolución humana.

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2. OBJETIVOS Y CARACTERÍSTICAS BÁSICAS (y raison d’être) DEL FAS  APPROACH SYSTEM

El sistema está dirigido a:

• Profesionales de la enseñanza de la Matemática que necesitan una herramienta pedagógica práctica y eficaz. 
• Ingenieros, físicos y matemáticos que desean refrescar o expandir sus conocimientos de EDO.
• Estudiantes secundarios y universitarios, quienes pueden beneficiarse a través del autoaprendizaje de herramientas y hábitos de estudio, ya que el sistema provee flexibilidad e interacción similares a la enseñanza individual y personalizada, logrando así un mejor rendimiento académico y reduciendo además los costos eventuales de tutoría. 
• Tutores que dictan clases online, debido a la ductilidad del sistema.

El sistema está dirigido a:

• Fomentar los tres procedimientos básicos:instinto, aprendizaje y comprensión, para acceder al conocimiento y reaccionar de manera apropiada frente a él.
• Permitir a los estudiantes abocarse rápidamente al tema de su interés, sin tener que saltear partes de los capítulos de un libro en el cual los temas no están separados.
• Facilitar a los instructores poder presentar un mínimo de cada abordaje, sin preocuparse si deciden saltear partes de otros abordajes que no son de su interés. 
• Separar los abordajes para prestar especial atención a cada uno de ellos.
• Reducir tiempos y costos para la enseñanza en live streaming y/o on demand.
• Alcanzar a una amplia cantidad de estudiantes, ya que se trata de un sistema bilingüe (Español/Inglés). 
• Ofrecer una colaboración a los docentes, ya que pueden reemplazar una parte de la estructura del material, generando una simbiosis beneficiosa en la relación profesor/alumno, brindando así también un complemento para los planes de estudios.

3. OBSERVACIÓN IMPORTANTE

Este trabajo se centró en el aprendizaje de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO); en un conjunto de apoyos pedagógicos cuidadosamente diseñados, con el objeto de captar el interés del lector y acrecentarla comprensión de la resolución de las EDO.

4. CONTENIDOS Y DISPOSICION DEL SISTEMA (para la resolución de  Ecuaciones Diferenciales Ordinarias)

La estructura del material de trabajo se divide en tres partes principales, que exige que el lector interactúe entre ellos, regulando su progreso a su propio ritmo.

Parte I    Guía de Referencia (abordaje indirecto)

Parte II   Abordaje Analítico (Capítulo 1)

                Abordaje Geométrico (Capítulo 2)

                Abordaje Metodológico (Capítulo 3)

                Aplicaciones (Capítulo 4)

Parte III  Práctica Guiada (abordaje indirecto)

Parte I: Guía de Referencia o Tabla Optimizada

Contiene las fórmulas, definiciones y propiedades más importantes, ordenadas en tablas y dispuestas de manera que permitan una rápida referencia y vista de tema por tema, desde el Capítulo 1 hasta el Capítulo 4. En otras palabras, esta guía representa el trabajo de convertir la parte estructural del conocimiento en un resumen. 

La Guía de Referencia servirá como una guía inicial que facilite el aprendizaje y la comprensión de cada uno de los abordajes, y como un resumen final para la práctica guiada, los exámenes o para resolver un ejercicio propuesto.

Parte II. Abordaje

En esta parte encontramos el desarrollo de cada abordaje para alcanzar el máximo conocimiento para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Dicha parte comprende los cuatro capítulos del libro. 

Cada abordaje ha sido trabajado de la manera más cuidadosa para obtener la independencia entre sí. Gráficamente, los consideramos como que descansan uno allado del otro. 

Comenzando con el abordaje analítico, o al menos una parte de él, continuando con los abordajes de nuestro interés, e interactuando con la guía de referencia, obtendremos un conocimiento particular. 

Obviamente, cuanto más abordajes adoptemos, mayor será nuestro conocimiento. El camino elegido será conocido como la “ruta del conocimiento”.

Capítulo 1. Abordaje Analítico. Es el comienzo y desarrollo de nuestro conocimiento. Está dedicado al desarrollo de procedimientos, es decir, la obtención explícita e implícita de fórmulas para resolver diferentes ecuaciones diferenciales ordinarias. En este abordaje proponemos ejercicios no resueltos, de manera que el lector pueda desarrollar su intuición y descubrir la estrcutura de las EDO por sí mismo.

Capítulo 2. Abordaje Geométrico. Trata los procedimientos geométricos para representar soluciones de EDO.

Capítulo 3. Abordaje Metodológico. Se desarrollan “métodos más sistemáticos”, tal como el Método Operacional, una técnica matemática que se ha convertido en un instrumento poderoso en la resolución de EDO. También el Método Numérico, que es utilizado en el cálculo de valores estimados de funciones desconocidas, para ciertos valores de la variable independiente. A veces, para muchas de las EDO difíciles, éstos resultan los únicos abordajes prácticos.

Parte III: Práctica Guiada

Consiste en una serie de ejercicios y problemas parcialmente resueltos, sin tomar en cuenta los  grados de dificultad. 

Aunque esta Práctica Guiada no representa de manera directa un abordaje por sí sólo, es bueno  para consolidar conceptos e incrementar el conocimiento. Esta parte puede ser considerada como un abordaje indirecto. No obstante, debemos señalar que esta parte es la más importante, ya que consolida el proceso de comprensión y resalta una manera de pensar “regulada”.

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5. CONCLUSIÓN

Cada día se extiende más la necesidad de contar con herramientas que permitan adquirir  conocimientos. El método FAS es una de ellas. Probablemente esta afirmación pueda ser criticada, pero es una opinión formada en la evidencia de experiencias adquiridas a través del  tiempo. 

Desde el punto de vista pedagógico, FAS representa una alternativa más para la comprensión de los conceptos y de ninguna manera intenta reemplazar a otras. Las herramientas tecnológicas son complementarias y que pueden ser utilizadas en la enseñanza online, presencial o en ambas en simultáneo.

La independencia de los distintos abordajes permite hablar de la intensidad de estudio de cada uno de ellos. Y la interacción de los mismos permite al estudiante “regular” su progreso y sus estudios a su propio ritmo. Es por este motivo que podemos hablar de “pensamiento regulado”. 

El esfuerzo se concentra en “mejorar” racionalmente y matemáticamente el trabajo regulado hacia la comprensión del concepto. Mejorar es aumentar la cantidad de abordajes o alternativas independientes y la interacción entre ellos en un movimiento horizontal.

Al encontrarnos frente a un ejercicio o problema matemático desconocido, no se trata únicamente de hallar un algoritmo que resuelva un problema, pues estaríamos frente a un ejercicio. Para FAS su método heurístico consiste en, frente a un problema cuya solución no es alcanzada de manera inmediata, buscar descomponerlo en fragmentos conocidos y resolverlo utilizando conocimiento adquirido en los distintos abordajes de la ruta de conocimiento elegida, combinándola con conocimientos propios procesados anteriormente, para luego tomar un camino a la solución final. FAS, frente a la resolución de un problema, lo ve no sólo como una situación que requiere solución, sino también como una consolidación de conceptos y métodos resolutivos de cada fragmento. De aquí la importancia del abordaje por aplicaciones o resolución de problemas. 

Como conclusión final, puedo decir que FAS, como filosofía de trabajo, refleja rigurosidad científica, dedicación y toda la pasión puestas al servicio de la educación, por lo cual espero sea útil a todos aquellos que incursionen en estas páginas.

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CONTENIDO

GUÍA DE REFERENCIA

Capítulo 1 – ABORDAJE ANALÍTICO

1    Introducción

2    Resolución de ecuaciones diferenciales

3    Ecuaciones con variables separables
      Ejercicios

4    Ecuaciones homogéneas
      Ejercicios

5    Teoría del factor de integración
      Ejercicios

6    Ecuaciones reducibles a homogéneas o variables separables
      Ejercicios

7    Ecuaciones diferenciales lineales
      Ejercicios

8    La ecuación diferencial de Ricatti

Ecuaciones Diferenciales De Segundo Orden

9    Ecuaciones incompletas de segundo orden
      Ejercicios

10  Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes
      Ejercicios

11  Ecuaciones diferenciales de la forma $\frac{d2y}{dx2}+p \frac {dy}{dx} + qy =f (x)$\frac{d2y}{dx2}+p \frac {dy}{dx} + qy =f (x)

12  Método de variación de constantes
      Ejercicios

Ecuaciones Lineales de Orden Superior

13  Ecuaciones diferenciales incompletas de orden superior

14 Ecuaciones de la forma $\frac{d^ny}{dx^n} +p_1 \frac {d^n-^1y}{dx^n-^1} + p_2 \frac {d^n-^2y}{dx^n-^2} + p_3 \frac {d^n-^3y}{dx^n-^3} + ... + p_ny= 0$

\frac{d^ny}{dx^n} +p1 \frac {d^n-^1y}{dx^n-^1} + p2 \frac {d^n-^2y}{dx^n-^2} + p3 \frac {d^n-^3y}{dx^n-^3} + ... + p_ny= f(x)

15 Ecuaciones de la forma $\frac{d^ny}{dx^n} +p_1 \frac {d^n-^1y}{dx^n-^1} + p_2 \frac {d^n-^2y}{dx^n-^2} + p_3 \frac {d^n-^3y}{dx^n-^3} + ... + p_ny= f(x)$\frac{d^ny}{dx^n} +p_1 \frac {d^n-^1y}{dx^n-^1} + p_2 \frac {d^n-^2y}{dx^n-^2} + p_3 \frac {d^n-^3y}{dx^n-^3} + ... + p_ny= f(x) 

16  Método de Variación de Constantes
      Ejercicios

17  La Ecuación Diferencial de Euler
       Ejercicios

18  Sistemas de ecuaciones diferenciales
      Ejercicios

19  Teoría de ecuaciones diferenciales lineales de orden $n$n

Ecuaciones Diferenciales De Segundo Orden Con Coeficientes Variables

20  Ecuaciones exactas

21  Ecuaciones de la forma $\frac{d^2y}{dx^2} +P \frac {dy}{dx} + Qy =0$\frac{d^2y}{dx^2} +P \frac {dy}{dx} + Qy =0

22  Ecuaciones de la forma $\frac{d^2y}{dx^2} +P \frac {dy}{dx} + Qy =R$\frac{d^2y}{dx^2} +P \frac {dy}{dx} + Qy =R

23  Reducción de la ecuación diferencial de Ricatti a una ecuación homogénea lineal de segundo orden

24  Método de variación de constantes

25  Ecuaciones adjuntas y autoadjuntas
      Ejercicios

Capítulo 2 – ABORDAJE ANALÍTICO

1    Interpretación geométrica de ecuaciones diferenciales

2    Método de las isoclinas

3    Problemas geométricos

4    Trayectorias
      Ejercicios

5    Ecuaciones de segundo grado

6    Representación geométrica de ecuaciones diferenciales de segundo grado

7    Soluciones singulares

8    La ecuación diferencial de Clairaut

9    La ecuación diferencial de Lagrange

10  Aplicaciones geométricas
      Ejercicios

11  El método de Euler-Cauchy

Capítulo 3 – ABORDAJE METODOLÓGICO

Introducción

Parte I Integración de ecuaciones diferenciales lineales empleando el operador D 

1    El operador “D”

2    Integración de ecuaciones lineales lineales homogéneas

3    Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

4    Integrales particulares

5    Métodos

6    Ejemplos resueltos

Parte II Transformadas de Laplace

1    Introducción

2    Existencia y unicidad de la Transformada de Laplace

3    Propiedades de las transformadas
      Ejercicios 

4    Operadores
      Ejercicios 

5    Funciones definidas

6    Transformadas de funciones periódicas
      Ejercicios 

7    La función Delta de Dirac

8    La Transformada Inversa de Laplace

9    El Teorema de Faltung

10  Transformadas inversas a través de series en $\frac{1}{p}$

11  Propiedad de cambio de escala
       Ejercicios 

12  Teorema del corrimiento de Heaviside

13  Transformada inversa de funciones racionales. La fórmula de desarrollo de Heaviside.
      Ejercicios 

14  Introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales 

15  Algunas Transformadas de Laplace

16  Estrategias operativas

Parte III Métodos numéricos para la resolución de EDO

1  Ecuaciones de series de potencias

2  Uso de las Series de Taylor

3  El Método Picard

4  El Método Adams

5  El Método Runge-Kutta

Capítulo 4 – ABORDAJE POR APLICACIONES

1    Introducción

2    La Ecuación de Hermite

3    La Ecuación de Legendre

4    La Ecuación Diferencial de Gauss

5    El Método de Frobenius

6    Las Ecuaciones de Bessel

7    Las Funciones de Thomson o funciones Ber y Bei

8    Aplicaciones y Modelización

PRÁCTICA GUIADA

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